约束Hamilton系统的Lie对称性及其在场论中的应用

发布时间：2020-11-05 13:06

　　一般情况下,我们研究的约束力学系统有两种,一种是具有外界施加约束的正规系统,另外一种就约束Hamilton系统,前者是由正规Lagrange量描述的系统,其受到是附加约束力,而后者是由奇异Lagrange量描述的奇异系统,其约束是指在相形空间中正则变量之间的某些关系。另外,我们知道一个动力学系统可以由Lagrange和Hamilton两种描述形式,对于正规系统,由位行空间的Lagrange描述过渡到相形空间的Hamilton描述时,正则变量之间是相互独立的,而对于奇异系统,正则变量之间存在着关系,也称为系统的固有约束,我们称此类系统为约束Hamilton系统.另外量子场论是当今一个热门研究领域,而量子场论中多数系统都是奇异的,所以本文针对约束Hamilton系统的对称性及其应用展开了讨论。研究了约束Hamilton系统的Lie对称性及守恒量,分别给出了系统的Noether守恒量和非Noether守恒量(Mei守恒量和Hojman守恒量),另外又研究了约束Hamilton系统的积分因子和对称性,最后把这两种方法推广到了场论中,前后研究了约束Hamilton系统的积分因子方法在场论中的应用、Lie对称性方法在场论中的应用,分别得到了场论中规范不变自对偶场和复标量场与Chern-Simons项耦合的对称性,并导出了其守恒量。本文的研究内容包括以下几个方面.第一,结合约束Hamilton系统的固有约束给出了系统的正则运动方程。首先根据系统的运动方程和内在约束在无限小变换下的不变性,建立了约束Hamilton系统的确定方程、限制方程、附加限制方程;其次构建了系统的结构方程,进而给出系统的守恒量;最后又进一步研究了满足确定方程的无限小生成元是否满足限制方程和附加限制方程,从而讨论了系统的一般Lie对成性、弱Lie对称性和强Lie对称性.第二,给出了约束Hamilton系统的Lie对称性和非Noether对称性的关系,从两个方面导出系统的非Noether守恒量(Mei守恒量,Hojman守恒量)。一方面其一是根据系统运动力学函数在无限小变换下的形式不变性,提出了约束Hamilton系统的Mei对称性及其守恒量;其二则是直接从系统的微分方程出发,由时间不变的特殊Lie对称性推导出约束Hamilton系统的特殊Lie确定方程,基于特殊Lie确定方程给出了一种新型守恒量,Hojman守恒量,此守恒量已经证明为非Noether守恒量。第三,研究了约束Hamilton系统的积分因子和对称性。给出了约束Hamilton系统的正则运动方程,构建约束Hamilton系统的积分因子和守恒定理,给出系统的广义Killing方程,最后由广义Killing方程解得积分因子和未知函数,最后结合守恒定理给出了系统的守恒量。第四,建立了场论系统在相空间的正则Hamilton方程,其次给出了场论系统的积分因子和守恒定理,然后构建了场论系统的广义Killing方程,最后给出场论系统的守恒量。以场论中的规范不变自对偶场为例子,证明积分因子方法的可行性和优点。第五,根据约束Hamilton系统Lie对称性理论研究了场论的对称性和守恒量。首先给出了场论系统的正则方程和内在约束方程,根据系统正则方程和固有约束方程在无限小变换下的不变性构建了Lie对称性确定方程,限制方程和附加限制方程,并且给出了场论系统的结构方程和守恒定理;其次结合场论系统的限制方程和附加限制方程分别得到场论系统的一般Lie对称性、弱Lie对称性和强Lie对称性;最后导出场论系统的一般Lie守恒量,弱Lie守恒量和强Lie守恒量。
【学位单位】：浙江理工大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O316
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章绪论
    1.1 约束Hamilton系统的研究现状
    1.2 约束力学系统的对称性研究现状
    1.3 本文研究的目的和意义
    1.4 论文的主要研究内容及结构
第二章约束Hamilton系统的Lie对称性和守恒量
    2.1 约束Hamilton系统及其内在约束
    2.2 约束Hamilton系统的广义正则方程
    2.3 约束Hamilton系统的无限小变换和Lie对称性
    2.4 约束Hamilton系统的结构方程和守恒定理
    2.5 算例
第三章约束Hamilton系统的Mei对称性、Hojman对称性和非Noether守恒量
    3.1 约束Hamilton系统的正则方程
    3.2 约束Hamilton系统的对称性及其守恒量
        3.2.1 Mei对称性及其守恒量
        3.2.2 Hojman对称性及其守恒量
    3.3 算例
第四章约束Hamilton系统的积分因子和对称性
    4.1 奇异系统的Lagrange约束及Hamilton型正则方程
        4.1.1 奇异系统及Lagrange约束
        4.1.2 Hamilton正则形式表述
    4.2 奇异系统的积分因子和守恒量
        4.2.1 积分因子
        4.2.2 守恒定理
    4.3 Killing方程
    4.4 算例
第五章约束Hamilton系统的积分因子方法在场论中的应用
    5.1 Hamilton系统和Lagrange约束
        5.1.1 约束Hamilton系统和Lagrange约束
        5.1.2 约束Hamilton系统的广义正则方程
    5.2 约束 Hamilton 系统的积分因子和守恒定理
    5.3 约束Hamilton系统的广义Killing方程
    5.4 例子
第六章约束Hamilton系统的Lie对称性理论在场论中的应用
    6.1 约束Hamilton系统和场论
    6.2 场论系统的Hamilton方程
    6.3 场论中的无限小变换和Lie对称性
    6.4 场论中的结构方程和守恒量定理
    6.5 算例
第七章总结与展望
    7.1 总结
    7.2 创新点
    7.3 研究展望
参考文献
攻读学位期间的研究成果
致谢

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