一个抛物型方程反问题的全变差正则化方法

发布时间：2021-06-20 08:04

这篇文章主要研究了一个在获得终端观测值的情况下,反演一个二阶抛物型方程未知参数的反问题。在反问题的求解中,最大的难点是处理其不适定性。关于求解不适定问题的方法,目前主要的解决方式为Tikhonov正则化方法;最早于20世纪60年代,由苏联数学家A.N.Tikhonov提出,从而开辟了反问题和不适定问题研究的新时代。但是Tikhonov正则化方法要求所求的正则化解具有一定的光滑性,并用它来近似原问题的解。而在实际的物理模型中原问题的解往往不够光滑(如在图像恢复过程中保留图像的边界),如何根据这一条件得到解的存在性、唯一性及其稳定性是这篇文章研究的重点之所在。本文从最优控制理论的角度出发,采用了全变差正则化方法进行了处理,并结合对正问题的分析,推出了关于未知系数所满足的必要条件,进而证明了最优解的唯一性及其稳定性,并成功的反演了未知系数在可能存在奇性的条件下的数值解。本文主要包括以下四个部分:第一章是绪论部分,首先简要介绍了反问题的发展历程、研究背景及其国内外研究现状,其次介绍了本文所做的主要工作。第二章主要从理论的角度研究了一个抛物型方程的参数反演问题。文章利用全变差正则化方法对问题P进行了研究,并在最优化理论框架下将原问题转化为一个最优控制问题Q,进而证明了极小元的存在性和极小元所满足的必要条件。最后在必要条件的基础上证明了极小元的唯一性和稳定性。第三章为数值模拟部分,本章以第二章的理论分析为基础,设计了全变差迭代算法,并在MATLAB中进行了模拟,从而验证了理论分析的有效性。这一章共分为两小节,第一小节为算法的设计部分,第二小节为数值实验部分。在数值实验中为了突出当1)()为非光滑函数时,全变差正则化方法的反演效果,我们还与传统的Landweber迭代法作了对比。第四章对全文进行总结和展望。总结了本文的主要研究成果,并对下一步的研究工作做了展望。由于本文中所考虑的问题P为一个一维抛物型系统的反问题,而对于高维情形,通常对应于更为广泛的实际应用领域,因此对于高维系统的研究是今后我们工作的一个方面。其次本文中设计的算法对正则化参数的敏感性要求较高,所以后续还须对算法做进一步改进,争取寻找出一种更加有效和简便的数值算法。
【学位授予单位】：兰州交通大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O241.82

文章目录

摘要

Abstract

第一章绪论

1.1 概述

1.2 反问题的研究现状

1.3 本文的主要工作

第二章参数反演的最优化问题及极小元的稳定性

2.1 最优化问题的提出

2.2 极小元的存在性

2.3 极小元满足的必要条件

2.4 唯一性和稳定性