随机梯度法在求解分布式椭圆控制问题中的应用

发布时间：2024-01-27 02:04

　　现实生活中的许多问题都可以用最优控制系统来描述。因其在实际应用中的重要性,最优控制问题吸引了许多数学工作者的研究兴趣,相关的数学建模、高效算法等方向也得到了飞速的发展。物理和工程上的许多模型中均含有不确定性的数据或者参数,因此实际的模型都可以用随机偏微分方程来表示,相关的数值算法也应运而生。本文主要研究一类随机最优控制问题:随机分布式最优控制问题。具体来说,控制系统由一个带随机输入的椭圆偏微分方程构成,本文希望在此限制下找到最优的右端项使得给定的分布式目标函数达到最小。本文的主要工作如下:首先,本文从泛函的角度出发,在理论上介绍了所研究问题解的存在唯一性。其次,本文利用拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束的最优控制问题,并导出与原问题等价的欧拉-拉格朗日方程组。接着,本文采用蒙特卡洛-有限元方法对该方程组进行离散,从而得到对原问题的数值离散格式及相关误差分析。最后,本文提出了随机梯度法来高效求解该类随机最优控制问题,并通过与传统的梯度下降法比较验证了其有效性。特别的,在一些简单情况下,本文给出了随机梯度法的收敛性分析。

【文章页数】：36 页

【学位级别】：硕士

图２．１?—维问题损失函数及其导数值＝?１００）??

图２．２?—维问题损失函数及其导数值＝?３００）??

图２．３?—维问题损失函数及其导数值卜二５００）??

图２．６二维问题最优状态变量的梯度法及随机梯度法数值解＝?５０００）??

本文编号：3886102